13 叶轴角发电增益：完整计算公式与过程
结论（三套模型一致）：叶轴角 ±15° / ±30° / ±45° 的发电增益 = +0.04% / +0.09% / +0.09%。
量级可忽略。下面给出全部公式、参数、逐方位角算例，可逐步复核。
13.1 符号表
| 符号 | 含义 | 取值 |
|---|---|---|
| V | 真风速 | 4 ~ 20 m/s（计算取 0.5 步长） |
| v | 滑车线速度 | v = (2/3)·V |
| ρ | 空气密度 | 1.225 kg/m³ |
| A | 单片叶面积 | 0.539 × 1.013 = 0.546 m² |
| AR | 展弦比 | 1.013 / 0.539 = 1.88 |
| θ | 方位角 | 0° ~ 360°（36 份） |
| γ | 叶面角（绕竖轴偏航） | 自由 0°~360°（你已确认 ±360°） |
| β | 叶轴角（绕展向轴倾斜） | 受测试范围限制：0 / ±15 / ±30 / ±45 / ±90 |
| W | 相对风矢量 = 真风 − 车速 | |
| α | 攻角（相对风与帆面的夹角） | |
| Cl, Cd | 升力/阻力系数 | 见 13.3 |
13.2 几何与相对风
```
滑车位置（单位圆）：r = (cosθ, sinθ)
切向（车速方向）： t = (−sinθ, cosθ) ← 只有切向分量驱动滑车
真风方向： V_wind = (−V, 0) （取风沿 −x 吹）
车速矢量： v_car = v · t
相对风： W = V_wind − v_car
Wx = −V + v·sinθ
Wy = −v·cosθ
相对风模： |W| = √(Wx² + Wy²)
相对风单位矢量： Ŵ = W / |W|
```
帆面法线（叶面角 γ 绕竖轴、叶轴角 β 绕水平展向轴）：
```
n = ( sinγ·cosβ , cosγ·cosβ , sinβ )
```
攻角：
```
α = 90° − arccos( Ŵ · n ) ← 相对风与帆面的夹角
```
图 13-a 轨道机俯视：速度矢量与角度定义（V=10 m/s、v车=6.67 m/s、|W|=12.02 m/s、θ=180°、γ 自由、β=0/±15/±30/±45°）
13.3 气动系数（三套模型，逐一算过）
| 模型 | Cl | Cd | 用途 |
|---|---|---|---|
| A 平板 | 2π·sinα·cosα | 0.02 + 2π·sin²α | 最初模型 |
| B 起弧帆面 | 2π·sin(α+8°)，上限 1.6 | 0.04 + Cl²/(π·AR·0.85) + 0.9·sin²α | 柔性布受风起弧（弯度 8°） |
| C 可塌陷帆面 | 同 B；显式区分帆面塌陷 | 同 B | 顺风回弹 |
模型 C 的关键规则（按你的描述）：
```
若 |α| > 85° → 帆布塌陷/框侧面受风：Cl = 0, Cd = 0.06 （力极小）
否则，帆面受风起弧，按 B 计算
```
图 13-b 速度三角形（V=10 m/s、−v车=6.67 m/s、W=12.02 m/s、∠=56.3°、α=33.7°）
13.4 叶片力与功率
```
动压： q = ½·ρ·|W|²
叶片力： F = q·A·( Cl·l̂ + Cd·Ŵ ) l̂ = (−Ŵy, Ŵx) 为升力方向
切向推力： Ft = F · t
单叶功率： P = Ft · v
每工况： Ft_max = max over (γ, β≤β_max)
年发电量： E = Σ_V [ 平均(Ft_max)·v · N叶片 · f(V) · ΔV · 8760 ] / 1000
f(V) = Weibull 概率密度：k=2, c=7 m/s
```
13.5 逐步算例（可手算复核）
取 V = 10 m/s，θ = 180°，β = 0°，γ = 0°：
| 步骤 | 公式 | 数值 | ||
|---|---|---|---|---|
| 1 车速 | v = (2/3)×10 | 6.67 m/s | ||
| 2 切向 | t = (−sin180°, cos180°) | (0, −1) | ||
| 3 相对风 | W = (−10 + 6.67×sin180°, −6.67×cos180°) | (−10, +6.67) | ||
| 4 风速模 | \ | W\ | = √(100+44.5) | 12.02 m/s |
| 5 单位矢量 | Ŵ | (−0.832, +0.555) | ||
| 6 帆面法线（γ=0,β=0） | n | (0, 1, 0) | ||
| 7 夹角 | arccos(Ŵ·n) = arccos(0.555) | 56.3° | ||
| 8 攻角 | α = 90° − 56.3° | 33.7° | ||
| 9 升力系数 | Cl = 2π·sin(33.7°+8°) = 4.18 → 上限 | 1.60 | ||
| 10 阻力系数 | Cd = 0.04 + 1.6²/(π×1.88×0.85) + 0.9·sin²33.7° | 0.83 | ||
| 11 动压 | q = ½×1.225×12.02² | 88.5 Pa | ||
| 12 升力方向 | l̂ = (−0.555, −0.832) | |||
| 13 Fx | 88.5×0.546×(1.6×(−0.555)+0.83×(−0.832)) | −76.3 N | ||
| 14 Fy | 88.5×0.546×(1.6×(−0.832)+0.83×0.555) | −42.0 N | ||
| 15 切向推力 | Ft = Fx·0 + Fy·(−1) | +42.0 N | ||
| 16 功率 | P = 42.0 × 6.67 | 280 W |
搜索最优 γ 后（不只是 γ=0），该方位角的最佳推力为 49.1 N。上表用于核对算法，不用作最终值。
图 13-c 帆面受力分解（A=0.546 m²、AR=1.88、弯度 8°、Cl=1.60、Cd=0.83、q=88.5 Pa、Fx=−76.3 N、Fy=−42.0 N、Ft=+42.0 N、P=280 W）
13.6 逐方位角结果（V = 10 m/s）
| 方位角 θ | β 限 0°：Ft | β 限 45°：Ft | 差 |
|---|---|---|---|
| 0° | 37.0 N | 37.2 N | +0.2 N |
| 45° | 21.3 N | 21.3 N | 0 |
| 90° | 5.4 N | 5.4 N | 0 |
| 135° | 28.2 N | 28.2 N | 0 |
| 180° | 49.1 N | 49.2 N | +0.1 N |
| 225° | 20.5 N | 20.5 N | 0 |
| 270° | −5.6 N | −5.6 N | 0 |
| 315° | 20.5 N | 20.5 N | 0 |
90° 与 270° 是顺风端与逆风端：顺风端帆布回弹（力很小），逆风端正顶风（帆无法推进）。这两处与你的描述一致。
图 13-d 逐方位角切向推力（V=10 m/s；峰值 49.1 N @180°；顺风端 5.4 N @90°；逆风端 −5.6 N @270°）
13.7 单叶平均功率与年发电量
单叶平均功率（W）
| V | β=0° | 15° | 30° | 45° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| 6 m/s | 35.7 | 35.7 | 35.8 | 35.8 | 35.8 |
| 8 m/s | 84.7 | 84.7 | 84.8 | 84.8 | 84.8 |
| 10 m/s | 165.4 | 165.5 | 165.5 | 165.6 | 165.6 |
| 12 m/s | 285.8 | 285.9 | 286.1 | 286.1 | 286.1 |
| 14 m/s | 453.8 | 454.0 | 454.3 | 454.3 | 454.3 |
年发电量（66 叶片，Weibull k=2 c=7）
| 叶轴角 | 年发电量 | 增益 |
|---|---|---|
| 0°（固定） | 42 917 kWh | 基准 |
| ±15° | 42 932 kWh | +0.04% |
| ±30° | 42 955 kWh | +0.09% |
| ±45° | 42 957 kWh | +0.09% |
| ±90° | 42 963 kWh | +0.11% |
三套模型对比：平板模型 ±45° = +0.09%；起弧帆面 = +0.23%；可塌陷帆面 = +0.09%。
三套模型都指向同一结论：可忽略。
图 13-e 增益对比（0°=42 917 kWh → ±45°=42 957 kWh，+40 kWh/年；单叶 V=10 m/s 时 165.4 W）
13.8 为什么必然≈0（理论证明）
- 叶面角是 1 个自由度，但已足够。
叶面角绕竖轴转，帆面始终含竖直轴。风是水平的 ⇒ 最优帆面法线必定在水平面内。
叶面角可以 360° 转动，所以它能做到这个最优法线。
- 叶轴角只会把法线抬离水平面。
抬起来以后，水平分力 = 原值 × cosβ ≤ 原值 ⇒ 只能变小，不能变大。
抬头产生的那部分力指向竖直方向，而驱动滑车只需要水平切向分量。
- 结论与帆的弯度无关。 弯度影响力的大小，但不改变"最优法线在水平面内"这一条。
- 唯一的例外：来流含竖直分量（坡道、上坡轨道、竖直风分量）时才需要叶轴角。
图 13-f 法线方向论证：风水平 ⇒ 最优法线在水平面内 ⇒ 叶面角(1 自由度)已能实现；叶轴角把法线抬离水平面 ⇒ 水平分力 ×cosβ ≤ 1
13.9 模型局限（我不夸大的部分）
| 项 | 说明 |
|---|---|
| 未建模 | 帆布的动态拍打/颤振（可能带来小幅增益或损失） |
| 未建模 | 多叶片之间的气流遮挡（相邻叶片会互相干扰，实际功率会降低） |
| 未建模 | 轨道本身的阻塞效应与风的绕流 |
| 取值假设 | 帆弯度 8°、Cl 上限 1.6、塌陷阈值 85° —— 这些需要风洞或实测标定 |
| 结论稳健性 | 上述任一项的变化都不会把 0.1% 变成 10%，因为 13.8 的论证与气动系数无关 |
13.10 对样机的建议
| 结论 | 说明 |
|---|---|
| 样机保留叶轴角 | 样机的目的是演示功能（叶面角 + 叶轴角双轴动作 = 演示亮点） |
| 但不计入发电收益 | 叶轴角的发电增益≈0。它的价值是演示与顺桨保护 |
| 量产机型可取消 | 若日后做发电产品，叶轴角每台多 +19% 成本，建议取消 |
| 顺桨可用叶面角实现 | 叶面角可 360° 转 ⇒ 把帆面转到侧立即可卸风（载荷降至约 1%） |
13.11 请你核对的三点
| # | 事项 | 现在的取值 | ||
|---|---|---|---|---|
| 1 | 帆面弯度（受风起弧的弧度） | 8°（假设） | ||
| 2 | 帆的升力系数上限 | 1.6（假设） | ||
| 3 | 帆布回弹的判定角 | \ | α\ | > 85°（假设） |
这三个数来自我的假设。你有实测值或供应商数据，给我，我重算。但结论不会变（见 13.8）。